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Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem

Um Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen zu können, brauchen wir bestimmte, eindeutig erkennbare Punkte. Hierzu nehmen wir die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems. Diese nennt man auch Spurpunkte.

Wir erinnern uns an die Aufgaben im Zweidimensionalen die Nullstellen von Funktionen - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Im räumlichen Fall gehen wir ebenso vor: Für alle Punkte auf der x1-Achse gilt, dass ihre x2- und x3-Koordinaten den Wert Null haben.

Methode

Um die Spurpunkte einer Ebene zu berechnen, setzen wir also in der Ebenengleichung (hier in Koordinatenform) die entsprechenden Koordinaten gleich Null.

Beispiel

Gegeben ist die Ebene E mit E: $2x_1+x_2+2x_3=4$. Bestimme die Spurpunkte der Ebene und stelle die Ebene in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
Schnittpunkt mit der x1-Achse (x2=x3=0): $2\cdot x_1+0+2\cdot 0=4 \iff x_1=2 \rightarrow$ S1(2|0|0)
Schnittpunkt mit der x2-Achse (x1=x3=0): $2\cdot 0+x_2+2\cdot 0=4 \iff x_2=4 \rightarrow$ S2(0|4|0)
Schnittpunkt mit der x3-Achse (x1=x2=0): $2\cdot 0+0+2\cdot x_3=4 \iff x_3=2 \rightarrow$ S3(0|0|2)

Methode

Um jetzt mit Hilfe der Spurpunkte die Lage der Ebene anzudeuten, verbinden wir die 3 Spurpunkte zu einem Dreieck.

In unserem Beispiel sieht das dann so aus:

Ebene im Koordinatensystem
Ebene im Koordinatensystem

Das Verbindungsdreieck stellt natürlich nur einen kleinen Ausschnitt der (unendlich großen) Ebene dar. Aber es hilft einem ganz gut, sich die Lage der Ebene vorstellen zu können.

Anmerkung: Die Verbindungslinien der Spurpunkte liegen in den Koordinatenebenen. Sie sind also Teil der sogenannten Spurgeraden, den Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
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    • Betrag eines Vektors berechnen
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    • Linearkombination von Vektoren
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    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
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