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Was sind Vektoren?

Einleitung und Grundlagen

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Was ist das, ein Vektor?
Ein Vektor entspricht einer Verschiebung im Raum und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.

Vektoren im Zweidimensionalen

Im 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“).
Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim Punkt Q’(0|3) usw.

Vektor als Verschiebung
Vektor als Verschiebung

Vektoren im Dreidimensionalen

Im dreidimensionalen (auch $\mathbb{R}^3$ genannt) ist das Vorgehen analog. Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}$ verschiebt um 3 Einheiten in x1-Richtung, um 2 Einheiten in x2-Richtung und um 4 Einheiten in x3-Richtung („3 nach vorne, 2 nach rechts und 4 nach oben“). Beispiel:

Beispiel

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Der Punkt P(1|1|1) wird durch den Vektor $\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$  auf den Punkt P’(5|2|3) abgebildet.

Einem Vektor ist es grundsätzlich erst einmal egal, wo im Raum er liegen soll. So ist der Vektor von P(2|2|4) zu P’(3|0|6) genau derselbe wie von Q(1|3|0) zu Q’(2|1|2) oder R(8|-1|11) zu R’(9|-3|13), nämlich immer $\begin{pmatrix} 1  \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$.
Einen „Sonderfall“ müssen wir uns aber trotzdem merken: Als Ortsvektor eines Punktes bezeichnet man den Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zu den Koordinaten des Punktes beschreibt. Man bezeichnet den Ortsvektor mit $\overrightarrow{OP}$ oder (kurz) mit einem kleinen Buchstaben $\vec{p}$.

Weiteres Basiswissen über Vektoren

Allgemeines über Vektoren wird auch im folgenden Video erläutert:

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
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    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
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      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
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      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
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