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Was ist das, ein Vektor?
Ein Vektor entspricht einer Verschiebung im Raum und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.

Vektoren im Zweidimensionalen

Im 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“).
Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim Punkt Q’(0|3) usw.

Vektor als Verschiebung
Vektor als Verschiebung

Vektoren im Dreidimensionalen

Im dreidimensionalen (auch $\mathbb{R}^3$ genannt) ist das Vorgehen analog. Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}$ verschiebt um 3 Einheiten in x1-Richtung, um 2 Einheiten in x2-Richtung und um 4 Einheiten in x3-Richtung („3 nach vorne, 2 nach rechts und 4 nach oben“). Beispiel:

Beispiel

Der Punkt P(1|1|1) wird durch den Vektor $\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$  auf den Punkt P’(5|2|3) abgebildet.

Einem Vektor ist es grundsätzlich erst einmal egal, wo im Raum er liegen soll. So ist der Vektor von P(2|2|4) zu P’(3|0|6) genau derselbe wie von Q(1|3|0) zu Q’(2|1|2) oder R(8|-1|11) zu R’(9|-3|13), nämlich immer $\begin{pmatrix} 1  \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$.
Einen „Sonderfall“ müssen wir uns aber trotzdem merken: Als Ortsvektor eines Punktes bezeichnet man den Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zu den Koordinaten des Punktes beschreibt. Man bezeichnet den Ortsvektor mit $\overrightarrow{OP}$ oder (kurz) mit einem kleinen Buchstaben $\vec{p}$.

Weiteres Basiswissen über Vektoren

Allgemeines über Vektoren wird auch im folgenden Video erläutert:

Video: Was sind Vektoren?

Multiple-Choice
Auf welchen Bildpunkt P' wird der Punkt $P(1|3|-2)$ durch den Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-3\\3 \end{pmatrix}$ abgebildet?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
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      • Einleitung zu Besondere Matrizen
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    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
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    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
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      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
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