Was sind Vektoren?
Merke
Was ist das, ein Vektor?
Ein Vektor entspricht einer Verschiebung im Raum und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.
Vektoren im Zweidimensionalen
Im 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“).
Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim Punkt Q’(0|3) usw.
Vektoren im Dreidimensionalen
Im dreidimensionalen (auch $\mathbb{R}^3$ genannt) ist das Vorgehen analog. Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}$ verschiebt um 3 Einheiten in x1-Richtung, um 2 Einheiten in x2-Richtung und um 4 Einheiten in x3-Richtung („3 nach vorne, 2 nach rechts und 4 nach oben“). Beispiel:
Beispiel
Der Punkt P(1|1|1) wird durch den Vektor $\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$ auf den Punkt P’(5|2|3) abgebildet.
Einem Vektor ist es grundsätzlich erst einmal egal, wo im Raum er liegen soll. So ist der Vektor von P(2|2|4) zu P’(3|0|6) genau derselbe wie von Q(1|3|0) zu Q’(2|1|2) oder R(8|-1|11) zu R’(9|-3|13), nämlich immer $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$.
Einen „Sonderfall“ müssen wir uns aber trotzdem merken: Als Ortsvektor eines Punktes bezeichnet man den Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zu den Koordinaten des Punktes beschreibt. Man bezeichnet den Ortsvektor mit $\overrightarrow{OP}$ oder (kurz) mit einem kleinen Buchstaben $\vec{p}$.
Weiteres Basiswissen über Vektoren
Allgemeines über Vektoren wird auch im folgenden Video erläutert:
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